_Возврат
ПРИЛОЖЕНИЯ
A.
Являются ли “мнимые” числа мнимыми?
Интерес к этой теме обусловлен следующим обстоятельством. Как уже говорилось в основном тексте книги, в настоящее время можно выделить очень своеобразный информационный массив, который был охарактеризован как единое универсальное знание. Однако в таком объединении есть одна важна “нестыковка”. В то время как содержание основной части охватываемых дисциплин соотносят с природой довольно напрямую, математику воспринимают иначе, как нечто фантазийное, условное, лишенное наглядной очевидности и существенной предметности. Всякие попытки думать иначе чаще всего расцениваются как наивный реализм и платонизм. За это теперь не бьют, но, как правило, подобную позицию до сих пор так и не считают вполне приличной.
Вину за такое отношение к математике не в последнюю очередь возлагают на то, что она породила такого монстра, как “мнимые” числа, которые так и не обрели какого-то достаточно явного соответствия с привычными наглядными образами. Вопрос в конце концов был закрыт чисто технически. С одной стороны, математики смогли установить, что в общем случае полезно пользоваться более полными (чем только действительные) “комплексными числами”, которые удобно отображать на плоскости как точки с двумя координатами. С другой стороны, платонизм был довольно решительно изгнан из сердца философов, и тем
самым проблема была внешне исчерпана.Так как для меня вопрос о единстве универсального знания оказался весьма принципиальным, то пришлось специально задуматься о проблеме мнимых чисел и ее истоках. Изначально присутствовало убеждение, что “непостижимая эффективность математики”, о чем писал Е.Вигнер, может быть постигнута только при условии, что ее структуры соответствуют вполне определенным онтологическим реалиям. Естественно, захотелось проверить, можно ли интерпретировать мнимые числа с помощью некоторых вполне привычных и достаточно наглядных представлений. Как оказалось, это дело не бесперспективно.
Рассмотрим общепринятые представления о мнимых числах: “К комплексным числам мы переходим, когда сталкиваемся с числами, называемыми мнимыми - термин, который сегодня лишь своеобразный реликт более наивной эры в арифметике. Величина
Ц -1 характерна для комплексных чисел; при умножении на себя этой величины получается - 1. Поскольку при этом нарушается основное правило, что при перемножении двух положительных или двух отрицательных чисел должно получиться число положительное, величина Ц - 1 (или i, как ее обычно обозначают) действительно является странной, поскольку ее нельзя назвать ни положительной, ни отрицательной. “Мнимые числа, - писал в 1702 г. Готтфрид Вильгельм фон Лейбниц, - это поразительный полет духа божьего; это почти амфибии, находящиеся где-то между бытием и небытием”. С эпохи Возрождения математики стали использовать комплексные числа (вида a + bЦ -1) для решения уравнений и открыли много прекрасных тождеств, хотя никто не мог объяснить, что это за колдовские мнимости”.Явное упоминание “мнимых величин” впервые встречается у Кардано в 1545 г., столкнувшегося с непривычной проблемой. Он решал задачу, как разделить число 10 на два слагаемых, так что их произведение даст число 40. В результате получилось квадратное уравнение, решения которого выглядели как:
X1 = 5 + Ц - 15 X2 = 5 - Ц - 15.
Было странно и нелепо, что квадратичное уравнение ведет к подобным решениям, поэтому они не были приняты всерьез. Но постепенно таких случаев выявлялось все больше, так что стало невозможно сомневаться, что с ними надо работать, и поэтому были выработаны соответствующие правила.
Удачный взгляд на комплексные числа сформировался в XVIII веке, когда К.Вессель смог придать им геометрическую интерпретацию и сопоставил их с векторами. После этого математики смогли оперировать необычными величинами довольно свободным образом, уже особенно не задумываясь о поиске для них иных, еще более естественных интерпретаций.
Тем не менее, вопрос в принципе не был закрыт, отчего к нему вновь обратился, например, П.Флоренский. По его убеждению вся проблема с мнимыми числами состоит в том, что они выражают свое, самобытное пространственное измерение и в этом их смысл: “ ... мнимость параметров тела должна пониматься не как признак ирреальности его, но - лишь как свидетельство о его переходе в другую действительность. Область мнимостей реальна, постижима, а на языке Данте называется Эмпиреем. Все пространство мы можем представить себе двойным, составленным из действительных и из совпадающих с ними мнимых гауссовых координат поверхностей, но переход от поверхности действительной к поверхности мнимой возможна только через разлом пространства и выворачивание тела чрез самого себя”.
Анализ показывает, что этой же проблеме можно придать иную, весьма простую и наглядную интерпретацию, сводящуюся к следующему.
Суть проблемы чрезвычайно проста. Под умножением (возведением в степень) и под обратными операциями обычно скрывается не один определенный смысл, но целых два. Правда, один из них обычно не очень заметен. Если такую ситуацию оценить в терминах аппарата описания ситуаций предстандарта, то можно сказать, что в данном случае имеется явная недистанцированность понятий.
Чтобы высказанное утверждение стало понятнее, рассмотрим два распространенных случая использования операции умножения:
1. Мы измеряем длину некоторого предмета. В этом случае используется некоторая линейка, которая многократно прикладывается к предмету по всей его длине, так что в конце концов нам достаточно перемножить размер нашего измерительного инструмента на число потребовавшихся прикладываний. Обращу внимание, что мы все время остаемся в одном и том же измерении, т.е. имеем как на “входе”, так и на “выходе” дело только
с длинами (линейки и предмета).2. Мы измеряем площадь участка. Соответственно речь идет о том, чтобы измерить длины сторон участка (его ширину и длину) и перемножить эти величины. Очевидно, что мы опять имеем дело с “умножением”, но уже с совсем другим. В данном случае на “входе” представлены длины, а на “выходе” уже “площади”. Едва ли надо объяснять, что это две большие разницы.
Корень проблемы мнимости спрятан, прежде всего, именно в неразличении отличия этих двух видов умножения. А ведь когда-то такое различение осознавалось вполне отчетливым образом, на что обращал внимание, скажем, И.Ньютон.
Говоря более конкретно, можно уточнить, что парадокс мнимых чисел возникает тогда, когда операция “умножения” фактически выступает операцией использования двух простых величин для задания или получения некоторой сложной, составной величины. Это уже скорее “комплексирование величин”, нежели “умножение”. Но обычно такая “мелочь” не замечается. И тогда происходит следующее.
Со сложными величинами поступают совершенно также, как и с простыми, складывая их, или вычитая. Так что в итоге может получиться сложная величина даже с отрицательным знаком. Принципиально важно, что она обладает тем же физическим смыслом, что и обычные простые отрицательные величины. Это фактически знак того, что на уровне сложных величин имеется долг, недостача или, в общем, отклонение в направлении, обратном принятому за “нормальное”, “положительное”.
Если теперь попытаться чисто формально перейти к вычислению определяющих и составляющих эту сложную величину простых компонентов, то и возникает известная задача извлечения квадратного корня из отрицательной величины (которая не учитывается математикой именно как сложная). Надеюсь, после разъяснений вам будет вполне понятно, что неизбежно выставляемая при этом в ответе мнимая величина
i в действительности является специальным напоминанием о том, что состоялся переход от уровня сложных величин к работе с простыми компонентами, причем в данном случае речь идет о компонентах, определяющих содержание отрицательной сложной величины.Поясню суть изложенной интерпретации мнимых чисел с помощью придания некоторого привычного, физически осязаемого, смысла приведенной задаче Кардано.
Допустим, что некоторой строительной бригаде поручили сделать летний павильон. Причем для этого им были выданы 40 квадратных метров специального покрытия для крыши и 20 метров щитов, для образования стенок павильона. Предполагается, что стены будут удерживать крышу по всему ее периметру. Строителям надо просто использовать этот материал и соорудить требуемую постройку без каких-либо других дополнительных ограничений.
Естественно, мастер бригады начнет с того, что попытается найти размеры стен, при которых он сможет, используя имеющийся материал, выполнить задание. И тогда перед его глазами окажется задача, типа кардановской, и, конечно же, с теми же выражениями для корней сводного уравнения:
X = 5 + - Ц -15 Y = 5 - Ц -15
Если теперь проанализировать подкоренное выражение, то станет отчетливо ясно, что здесь подобным образом зафиксирована вполне понятная мысль: длина материала для стен не позволяет подпереть весь периметр заказанной крыши. В лучшем случае из материала стен можно собрать павильон с максимальной площадью крыши в 25 квадратных метров.
Ц -15 – это выражение, означающее, что даже при оптимальном планировании размеров и расположении стен в виде квадрата их суммарной длины все равно не хватит для фиксации еще 15 квадратных метров крыши. То есть приведенные выражения для определения длины стенок павильона говорят нам, что условия задачи не согласованы друг с другом. Получается, что необходимо либо найти дополнительный материал и как-то удлинить стороны павильона (чтобы подпереть всю крышу по периметру), либо надо согласиться с тем, что 15 квадратных метров материала крыши просто не будут использованыОтсюда можно сделать вывод, что математические структуры, содержащие мнимости, допускают вполне нормальную естественную интерпретацию, так что математика - это нормальная наука о природе.
В заключение хотел бы добавить, что было бы очень интересно проследить, к каким интересным следствиям внутриматематического (и не только) порядка могла бы привести изложенная интерпретация парадокса мнимых чисел. Мне видятся и другие интересные “нестыковки” в исходных математических представлениях, поэтому допускаю, что при использовании в отношении математики опыта преодоления ситуаций предстандарта можно будет увидеть какие-то совсем не тривиальные вещи. Но даже сейчас задаешься вопросом: почему собственно проблема мнимых чисел вдруг стала понятной
именно теперь?